natural logaritma

Natural Logarithm

 

The natural logarithm  is the logarithm having base e, where

(1)

This function can be defined

(2)

for .

This definition means that e is the unique number with the property that the area of the region bounded by thehyperbola , the x-axis, and the vertical lines  and  is 1. In other words,

(3)

The notation  is used in physics and engineering to denote the natural logarithm, while mathematicians commonly use the notation . In this work,  denotes a natural logarithm, whereas denotes the common logarithm.

There are a number of notational conventions in common use for indication of a power of a natural logarithm. While some authors use  (i.e., using a trigonometric function-like convention), it is also common to write .

Common and natural logarithms can be expressed in terms of each other as

			(4)
			(5)

The natural logarithm is especially useful in calculus because its derivative is given by the simple equation

(6)

whereas logarithms in other bases have the more complicated derivative

(7)

The natural logarithm can be analytically continued to complex numbers as

(8)

where  is the complex modulus and  is the complex argument. The natural logarithm is a multivalued function and hence requires a branch cut in the complex plane, which Mathematica's convention places at .

Min Max Re Im

The principal value of the natural logarithm is implemented in Mathematica as Log[x], which is equivalent to Log[E,x]. This function is illustrated above in the complex plane.

Note that the inverse trigonometric and inverse hyperbolic functions can be expressed (and, in fact, are commonlydefined) in terms of the natural logarithm, as summarized in the table below. Therefore, once these definition are agreed upon, the branch cut structure adopted for the natural logarithm fixes the branch cuts of these functions.

function	symbol	definition
inverse cosecant
inverse cosine
inverse cotangent
inverse hyperbolic cosecant
inverse hyperbolic cosine
inverse hyperbolic cotangent
inverse hyperbolic secant
inverse hyperbolic sine
inverse hyperbolic tangent
inverse secant
inverse sine
inverse tangent

The Mercator series

(9)

gives a Taylor series for the natural logarithm.

Continued fraction representations of logarithmic functions include

(10)

(Lambert 1770; Lagrange 1776; Olds 1963, p. 138; Wall 1948, p. 342) and

(11)

(Euler 1813-1814; Wall 1948, p. 343; Olds 1963, p. 139).

For a complex number , the natural logarithm satisfies

			(12)
			(13)

and

(14)

where  is the principal value.

Some special values of the natural logarithm include

			(15)
			(16)
			(17)
			(18)
			(19)

Natural logarithms can sometimes be written as a sum or difference of "simpler" logarithms, for example

(20)

which follows immediately from the identity

(21)

Plouffe (2006) found the following beautiful identities:

			(22)
			(23)
			(24)

Read More

LEUKIMIA

Leukemia merupakan kanker yang terjadi pada sel darah manusia. Untuk mengetahui tentang leukemia, kita harus mengenal dahulu sel-sel darah yang normal serta apa yang terjadi jika terkena leukemia. Darah manusia terdiri dari cairan yang disebut sebagai plasma darah, dan tiga kelompok sel darah. Kelompok sel darah itu dibedakan menjadi sel darah merah, sel darah putih, dan keping-keping darah.

Sel darah putih atau leukosit berfungsi untuk melindungi tubuh terhadap infeksi atau serangan penyakit lainnya. Sel darah merah atau eritrosit berfungsi untuk mengangkut oksigen dari paru-paru ke seluruh jaringan tubuh, dan membawa karbon dioksida dari jaringan tubuh kembali ke paru-paru. Keping-keping darah atau trombosit sangat berperan dalam proses pembekuan darah.

Ketika terjadi leukemia, tubuh akan memproduksi sel-sel darah yang abnormal dan dalam jumlah yang besar. Pada leukemia, sel darah yang abnormal tersebut adalah kelompok sel darah putih. Sel-sel darah yang terkena leukemia akan sangat berbeda dengan sel darah normal, dan tidak mampu berfungsi seperti layaknya sel darah normal.

Penyebab leukemia sejauh ini belum diketahui. Namun banyak penelitian yang dilakukan untuk memecahkan masalah ini. Beberapa penelitian menunjukkan bahwa leukemia lebih sering menyerang kaum pria dibandingkan kaum wanita, dan juga pada kelompok orang kulit putih dibandingkan dengan orang kulit hitam. Namun sampai saat ini belum diketahui mengapa hal tersebut dapat terjadi.

Beberapa hal yang diduga menjadi penyebab leukemia misalnya tubuh sering terpapar oleh bahan kimia tertentu, sinar radiasi, serta obat-obatan (seperti pada pengobatan kanker), atau karena adanya kromosom yang abnormal (seperti pada Down syndrome). Bahan-bahan tersebut dapat menyebabkan terjadinya mutasi dan akhirnya akan mempengaruhi pertumbuhan atau proses pembelahan sel darah putih.

Gejala penyakit leukemia biasanya ditandai dengan adanya anemia. Infeksi akan mudah atau sering terjadi karena sel darah putih tidak dapat berfungsi dengan baik, rasa sakit atau nyeri pada tulang, serta pendarahan yang sering terjadi karena darah sulit membeku. Jika tidak diobati, maka akan mengakibatkan leukemia akut dan akhirnya dapat menyebabkan kematian.

Pengobatan leukemia dapat berupa kemoterapi dengan obat anti kanker, terapi radiasi, tranfusi darah dan plasma, serta transplantasi sumsum tulang.

sumber: info-sehat.com

Sel Penyebab Leukemia Ditemukan
Tim peneliti menemukan bahwa kedua anak kembar tersebut memiliki sel tunas abnormal praleukemia dalam darah mereka. Sel itu bisa “tidur” dalam sumsum tulang atau berkembang menjadi sel tunas leukemia. Hasil ini dikonfirmasi oleh eksperimen yang menggunakan sel tali pusar manusia.

“Penelitian ini berarti kami dapat mengetes apakah penanganan leukemia lymphoblastic akut pada anak bisa dikaitkan dengan menghilangnya dan berkembangnya sel tunas leukemia,” kata Profesor Tariq Enver dari Unit Hematologi Molekuler Universitas Oxford, yang memimpin penelitian tersebut. “Mulai saat ini, upaya penyembuhan bisa difokuskan pada upaya membidik sel tunas praleukemia dan sel tunas kanker dengan obat yang ada atau yang akan kita kembangkan.”

Upaya penyembuhan yang terfokus, menurut Tariq, bisa menghindari efek samping pengobatan kanker kemoterapi yang menyakitkan dan terkadang justru membahayakan kondisi tubuh pasien. Hal ini sangat penting karena terbukti, Olivia, salah satu anak kembar yang terkena leukemia, mengalami kebutaan di sebelah matanya akibat infeksi yang tidak bisa dilawan tubuhnya saat kemoterapi.

Para ilmuwan telah melacak kemungkinan sel tunas prakanker itu akibat fusi abnormal dari dua gen yang terjadi selama kehamilan ibu. Fusi ini menghasilkan protein hibrida, sebuah “kesalahan” genetik yang terjadi secara acak dan menyebabkan sel menjadi terjangkit leukemia. Gen yang diambil dari si kembar lantas ditransplantasikan ke tikus laboratorium yang mengkonfirmasi adanya hubungan langsung antara malfungsi genetik dari sel tunas tersebut dan leukemia.

Lembaga donor Inggris yang membiayai penelitian itu, Leukemia Research and the Medical Research Council, dan Rumah Sakit Great Ormond Street menyatakan sangat gembira atas penemuan itu dan berharap penelitian dilanjutkan ke upaya mencegah dan mengobati penyakit tersebut.

sumber: tempointeraktif.com

Read More

sweet song

sweet song?  lagu manis?
ahh ini bukan saja orangnya atau penyanyinya yang manis
tapi juga suara, lirik dan faktor lain
inilah beberapa lagu tersebut 

Sabrina - I Knew I Loved You

Sabrina - Bad Day

Yiruma - Kiss The Rain

Yui - Goodbye Days

Endah and Rhesa - When You Love Some One

Mocca - I Remember

Gleen - When I Fall In Love

Read More

moon and stars

bulanku tak berbintang tak mampu ia menghiasi malam dalam dunia yang kelam hanya bintang yang bulan tunggu bukan 1001 bintang tapi cukup 1 bintang yang dapat menemani bulan bulan tak akan kemana-mana bulan hanya akan didekat bumi sebagai teman sejati yang selalu menunggu bintang

Read More